編輯推薦:

內(nèi)容簡(jiǎn)介:　　《夢(mèng)想相遇無(wú)窮》以無(wú)窮概念為基礎(chǔ),以極限方法為工具,以微分積分為核心,以無(wú)窮運(yùn)算為拓展,介紹最簡(jiǎn)無(wú)窮數(shù)學(xué)即微積分初步的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵及其生活應(yīng)用。主要內(nèi)容包括無(wú)窮啟蒙、無(wú)窮集合、奇妙實(shí)數(shù)、數(shù)列極限、函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)、微分初步、積分初步、微分方程初步、無(wú)窮級(jí)數(shù)、無(wú)窮乘積與無(wú)窮迭代?！秹?mèng)想相遇無(wú)窮》可作為高等院校所有專業(yè)的本（專）科生、碩士生、中學(xué)數(shù)學(xué)智優(yōu)生、中學(xué)數(shù)學(xué)教師,具有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的高校教師及其行政管理人員的數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)提高讀本,也可作為數(shù)學(xué)師范本科、數(shù)學(xué)教育碩士、重點(diǎn)中學(xué)拓展課程的選修課教材或教學(xué)參考書。

作者簡(jiǎn)介:

目錄:第 1 章 探索無(wú)窮 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 
1.1 無(wú)窮啟蒙 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 
1.1.1 有窮相遇無(wú)窮 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 
1.1.2 觀念作用的無(wú)窮 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 
1.1.3 數(shù)學(xué)運(yùn)用的無(wú)窮 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 
1.1.4 違反直覺(jué)的無(wú)窮 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 
1.2 無(wú)窮集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 
1.2.1 集合與一一對(duì)應(yīng) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 
1.2.2 可列集與連續(xù)統(tǒng)集 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 
1.2.3 實(shí)無(wú)窮與潛無(wú)窮 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 
1.3 奇妙實(shí)數(shù) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 
1.3.1 起源于幾何直覺(jué)與方程求根的無(wú)理數(shù) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 
1.3.2 美妙的戴德金分割 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 
1.3.3 實(shí)數(shù)的十進(jìn)制小數(shù)表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 
1.3.4 實(shí)數(shù)集的上 (下) 確界 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 
1.3.5 實(shí)數(shù)集的主要性質(zhì)及其常用不等式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 
第 2 章 捕捉無(wú)窮 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 
2.1 數(shù)列極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 
2.1.1 數(shù)列極限概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 
2.1.2 無(wú)窮小與無(wú)窮大數(shù)列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 
2.1.3 數(shù)列極限性質(zhì)及計(jì)算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 
2.1.4 數(shù)列極限存在的條件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 
2.2 函數(shù)極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 
2.2.1 函數(shù)極限概念及性質(zhì) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 
2.2.2 函數(shù)極限存在條件及計(jì)算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 
2.2.3 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 
2.2.4 極限概念歷史演變概況 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 
2.2.5 極限思想的人文教育價(jià)值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3 連續(xù)函數(shù) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 
2.3.1 連續(xù)函數(shù)概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 
2.3.2 連續(xù)函數(shù)局部性態(tài) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 
2.3.3 連續(xù)函數(shù)整體性態(tài) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 
第 3 章 魅力無(wú)窮 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 
3.1 寶刀屠龍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 
3.1.1 微分與導(dǎo)數(shù) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 
3.1.2 微分中值定理及應(yīng)用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 
3.1.3 泰勒公式及其應(yīng)用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 
3.1.4 微分學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)部應(yīng)用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 
3.1.5 微分學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133 
3.1.6 微分思想歷史演變概況 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 
3.2 窺視世界. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151 
3.2.1 不定積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 
3.2.2 最簡(jiǎn)微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 
3.2.3 微分方程簡(jiǎn)單應(yīng)用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 
3.3 積微成著. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171 
3.3.1 定積分概念及其人文教育價(jià)值. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171 
3.3.2 定積分計(jì)算及其數(shù)學(xué)內(nèi)部應(yīng)用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179 
3.3.3 定積分中值定理及其應(yīng)用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182 
3.3.4 微積分基本定理及其應(yīng)用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186 
3.3.5 微元法及其實(shí)際應(yīng)用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 
3.3.6 微元法在力學(xué)中的應(yīng)用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 
3.3.7 積分思想的歷史演變概況 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195 
第 4 章 樂(lè)在無(wú)窮 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 
4.1 無(wú)窮級(jí)數(shù). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201 
4.1.1 收斂與發(fā)散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 
4.1.2 幾何級(jí)數(shù) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 
4.1.3 調(diào)和級(jí)數(shù) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 
4.1.4 正項(xiàng)級(jí)數(shù) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 
4.1.5 一般項(xiàng)級(jí)數(shù) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 
4.2 無(wú)窮乘積. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228 
4.2.1 無(wú)窮乘積收斂與發(fā)散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 
4.2.2 絕對(duì)收斂與條件收斂 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 
4.2.3 無(wú)窮小數(shù)列的無(wú)窮乘積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 
xvi
4.2.4 歐拉的一個(gè)偉大定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 
4.2.5 歐拉的偉大定理引申 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 
4.3 無(wú)窮迭代. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239 
4.3.1 線性迭代數(shù)列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 
4.3.2 非線性迭代數(shù)列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 
4.3.3 平均數(shù)迭代數(shù)列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 
后記：相識(shí)無(wú)窮 呼喚信仰 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 
參考文獻(xiàn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .270